Svar
Den riktige skrivemåten er Distrikts-Norge, altså med stor forbokstav i begge ord og bindestrek mellom ordene.
Slik bør en skrive alle liknende sammensetninger med landsnavnet: Bygde-Norge, Fotball-Norge, Fastlands-Norge, Helse-Norge, Idretts-Norge, Innlands-Norge, Kunnskaps-Norge, Skole-Norge, Utdannings-Norge, Utkant-Norge, Vinter-Norge osv.
Det samme gjelder navn på byer: Festspill-Bergen, Sommer-Oslo, Teater-London osv. Ja, vi kan ta med alle steder og områder som skrives med stor forbokstav: Fastlands-Lofoten osv.
Det er siste leddet i slike sammensetninger som er hoveddelen av ordet. Sommer-Oslo er et slags Oslo. Ordet for sommervarianten av Oslo betrakter vi altså som et egennavn som fortjener den samme store forbokstaven som selve Oslo. Logikken kan diskuteres, og vi kan forstå at noen synes skriftbildet er pussig, men skrivemåten stemmer i alle fall med den vi bruker i andre områdebetegnelser, som Nord-Norge, Mellom-Europa osv. Det er enklest slik.
Merk at det er andre regler for sammensetninger der fellesnavnet står til slutt. Det heter enten oslosommer eller Oslo-sommer. Hverken helheten eller hovedordet sommer er egennavn.