Svar
Det heter fast ansatte og midlertidig ansatte (eventuelt tilsatte, som er det samme).
Fast uten -e står ikke som adjektiv til de ansatte, men står snarere adverbielt til å ansette. Riktignok har fast knyttet seg så sterkt til ansatt at vi kan snakke om to slags ansatte: de faste og de midlertidige, men vi anbefaler likevel å skrive fast ansatte og midlertidlig ansatte.
Logikken er ikke helt den samme når adjektivet er faglig, men det er nok best å skrive de faglig ansatte. Likeledes: de offentlig ansatte.
I alle tilfellene er variantene uten flertalls-e både de tradisjonelle og de mest brukte.
Lignende tilfeller
Tre grammatisk beslektede eksempler er psykiatrisk sakkyndige, frivillig innlagte og psykisk utviklingshemmede. Disse uttrykkene bør skrives uten -e. Det samme gjelder medisinsk sakkyndige, selv om det var ganske vanlig med -e før.
I selvstendig(e) næringsdrivende var -e det vanligste før i tida, men det er nærliggende å tenke at disse næringsdrivende driver selvstendig, så vi skriver i dag de selvstendig næringsdrivende. Likevel: de private næringsdrivende.
Når ordet som kommer etter, er et vanlig bøyelig substantiv (altså ikke et partisipp på -t, -ende eller noe annet) skal adjektivet bøyes, selv om det kan virke ulogisk. Eksempel: daglige ledere. Det finnes ikke noe grammatisk alternativ.